🗃 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

Thema der Stunde(n)

Beschreibung des Themas

Baumdiagramme sind für die Stochastik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eines der eingängigsten Werkzeuge um zufällige Ereignisse darzustellen. Visuell werden mehrstufige Zufallsexperimente entlang von Pfaden mit zugeordneten Pfadwahrscheinlichkeiten abgebildet; so werden Produkt- und Summenregel, bedingte Wahrscheinlichkeiten und in weiterer Folge der Satz von Bayes transparent nachvollziehbar. In der Schule unterstützt das die strukturierte Problemlösung, verhindert Rechenfehler bei mehrstufigen Situationen und fördert die präzise Versprachlichung von Wahrscheinlichkeitsaussagen.

Aufgaben und Ziele

• Schüler:innen können aufeinanderfolgende Ereignisse als Baumdiagramm darstellen
• Schüler:innen können den Unterschied zwischen abhängigen und unabhängigen Ereignisse anhand von Wahrscheinlichkeiten ausdrücken
• Schüler:innen können den Satz von Bayes implizit durch die Analyse von Baumdiagrammen anwenden

Bezugsrahmen

Lehrplan

NOR40237785.pdf

Lehrplanausschnitt

8. Semester – Kompetenzmodul 8:

Bildungs- und Lehraufgabe:

Die Schülerinnen und Schüler können im

Bereich Stochastik

• den Begriff Zufallsexperiment verstehen, die Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse mit Hilfe der Definition für Wahrscheinlichkeiten nach Laplace bestimmen und die Additions- und Multiplikationsregel anwenden;
• mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen modellieren, diese interpretieren und damit argumentieren.

Bereich Matrizen

• Daten strukturiert in Vektoren und Matrizen zusammenfassen sowie Berechnungen im Fachgebiet durchführen und kennen den Begriff der Determinante und deren Bedeutung.

Lehrstoff:

Stochastik:

• Zufallsexperimente, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Additions- und Multiplikationssatz für einander ausschließende bzw. unabhängige Ereignisse; bedingte Wahrscheinlichkeit.

Matrizen:

• Bezeichnungen, Addition, Multiplikation, Multiplikation mit einer Zahl; Rechenregeln, Determinante, lineare Gleichungssysteme in Matrizenform.

Grundkompetenzkatalog

Mathematische Grundkompetenzen für die SRP in Mathematik (AHS)

Grundkompetenzkatalogausschnitt

• WS 2.1 Grundraum (Menge der möglichen Versuchsausgänge) und Ereignisse in ange messenen Situationen verbal bzw. formal angeben können
• WS 2.2 relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und an wenden können
• WS 2.3 Wahrscheinlichkeiten unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
• WS 2.4 Binomialkoeffizienten berechnen und interpretieren können

Einbettung in den Unterrichtsverlauf

• Schulstufe: 12. Schulstufe (HTL)
• Lehrplan Ausschnitt: mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen
• Voraussetzungen: Grundlegende Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitsrechnung (Laplace, Addition, Multiplikation)

Vorherige Stunde(n):

Wiederholung: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Grundlagen

• Stichprobenraum: Ein Zufallsexperiment hat eine Ergebnismenge (Stichprobenraum) Ω. Ein Ereignis ist eine Teilmenge A ⊆ Ω.

  • Begriffe wie möglich, günstig

• Verknüpfungen: A ∪ B bedeutet „A oder B“ (mindestens eines tritt ein), A ∩ B bedeutet „A und B“ (beide treten ein).

• Laplace-Wahrscheinlichkeit (gleichwahrscheinliche Ergebnisse)

• Wenn alle Ergebnisse in Ω gleich wahrscheinlich sind: $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}.$ (=“günstige Ergebnisse”/“mögliche Ergebnisse”)

• Gegenereignis: (bekannt) $P(A^c)=1-P(A).$

• Additionsregel

• Allgemein: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

• Für disjunkte Ereignisse (A∩B=∅): (bekannt) $P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

• Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Für P(A)>0: $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$

• Multiplikationsregel

• Allgemein: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B).$

• Für unabhängige Ereignisse (P(B∣A)=P(B)): (bekannt) $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Vorhergegangene Hausübung:

Hausübung bis 14.10.2025

Aus Schulbuch “Ingenier-Mathematik 4”

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Link zum Original

Inhalte

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Baumdiagramme

• Zweck: Mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen
• Knoten: Zustände/Teilereignisse je Stufe
• Kanten/Pfade: zugeordnete Pfadwahrscheinlichkeiten
• Abhängigkeit: Kantenwerte können sich je nach vorherigem Knoten ändern
• Bayes: Rückwärts lesen, um Ursachen aus beobachteten Ergebnissen zu folgern

Zwei wichtige Regeln

Multiplikationsregel:

Pfadwahrscheinlichkeit = Produkt der Kantenwahrscheinlichkeiten entlang des Pfads

Additionsregel:

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen

Beispiel (ohne Zurücklegen): Urne mit 3 Rot (R), 2 Blau (B), zwei Ziehungen

Beispiel Baumdiagramm

flowchart TB
	A((Start))
	A -->|R 3/5| R1[Ziehung 1: **R**]
	A -->|B 2/5| B1[Ziehung 1: **B**]
	R1 -->|R 1/2| RR[**RR**]
	R1 -->|B 1/2| RB[**RB**]
	B1 -->|R 3/4| BR[**BR**]
	B1 -->|B 1/4| BB[**BB**]

Aufgabe

Mind. 1 rote Kugel:

Sei $A$ das Ereignis “mindestens eine rote Kugel”.

Die günstigen Pfade sind: RR, RB, BR.

• $P(\text{RR})=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$
• $P(\text{RB})=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$
• $P(\text{BR})=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel ist die Summe dieser Pfadwahrscheinlichkeiten:

$$P(A)=P(\text{RR})+P(\text{RB})+P(\text{BR})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, beträgt $\boxed{\frac{9}{10}}$.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Beispiel: Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen

Urne mit 3 roten (R) und 2 blauen (B) Kugeln. Zwei Kugeln werden nacheinander gezogen.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, unter der Bedingung, dass die erste Kugel blau war?

Baumdiagramm

flowchart TB
	A((Start))
	A -->|R 3/5| R1["Ziehung 1: R"]
	A -->|B 2/5| B1["Ziehung 1: B"]
	R1 -->|R 1/2| RR[RR]
	R1 -->|B 1/2| RB[RB]
	B1 -->|R 3/4| BR[BR]
	B1 -->|B 1/4| BB[BB]

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Ereignis A: “2. Kugel rot”
Ereignis B: “1. Kugel blau”

• Gesucht: $P(\text{2. Kugel rot}\mid \text{1. Kugel blau})$ also $P(A\mid B)$
• Im Baum: Nach dem Pfad “B” (erste Kugel blau), zweite Stufe: “A” (zweite Kugel rot)
• $P(\text{A}\mid \text{B})=\frac{3}{4}$

Erklärung

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit liest man direkt am Baum ab: Nach dem ersten blauen Knoten (“B”) ist die Wahrscheinlichkeit für rot in der zweiten Ziehung $3/4$.

flowchart TB
	A((Start))
	A -->|R 3/5| R1[Ziehung 1: R]
	A -->|"**P(B)**"| B1[Ziehung 1: B]
	R1 -->|R 1/2| RR[RR]
	R1 -->|B 1/2| RB[RB]
	B1 -->|"**P(A|B)**"| BR[BR]
	B1 -->|B 1/4| BB[BB]

Hier könnte man direkt den Satz von Bayes entwickeln!

Mit den bekannten Formeln könnte man sich jetzt hier die Frage nach der umgekehrten (schwierigere) bedingten Wahrscheinlichkeit $P(\text{1. Kugel blau}\mid \text{2. Kugel rot})$ stellen und den Satz von Bayes herleiten.

Bekannt: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ Bekannt: $P(A\cap B)=P(B\cap A)$

Damit:

$P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}.$

$P(A\mid B)$ und $P(B)$ sind wie oben direkt am Baum ablesbar. $P(A)$ kann mit der Additionsregel aus dem Baum berechnet werden.

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Vergleich: Unabhängige Ereignisse

Beispiel: Zwei Ziehungen mit Zurücklegen

Urne mit 3 roten (R) und 2 blauen (B) Kugeln. Nach jeder Ziehung wird die Kugel zurückgelegt.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, unabhängig von der ersten Ziehung?

Baumdiagramm

flowchart TB
	A((Start))
	A -->|R 3/5| R1[Ziehung 1: R]
	A -->|B 2/5| B1[Ziehung 1: B]
	R1 -->|R 3/5| RR[RR]
	R1 -->|B 2/5| RB[RB]
	B1 -->|R 3/5| BR[BR]
	B1 -->|B 2/5| BB[BB]

• $P(\text{2. Kugel rot}\mid \text{1. Kugel blau})=P(\text{2. Kugel rot})=\frac{3}{5}$
• $P(\text{1. Kugel blau}\mid \text{2. Kugel rot})=P(\text{1. Kugel blau})=\frac{2}{5}$

Unabhängigkeit

Die Wahrscheinlichkeit für rot in der zweiten Ziehung bleibt immer gleich ($3/5$), egal was bei der ersten Ziehung passiert ist. Die Ereignisse sind unabhängig.

Vergleich

• Ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für rot in der zweiten Ziehung hängt davon ab, was zuerst gezogen wurde (abhängig).
• Mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich (unabhängig).

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist relevant, wenn das Ergebnis einer Stufe die Wahrscheinlichkeiten der nächsten beeinflusst.

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Materialien

• Laptop